Oszthatóság, Prímszámok, Prímtényezős felbontás

Oszthatóság, Prímszámok, Prímtényezős felbontás

Ezek a számelméleti alapfogalmak az érettségi kulcsfontosságú részei. Gyakran önállóan, de más feladatokba beépítve is találkozhatsz velük.

Oszthatóság

Az oszthatóság két egész szám alapvető kapcsolata.

• Definíció: Azt mondjuk, hogy egy 'a' egész szám osztható egy 'b' egész számmal, ha az osztás maradéka 0.

  Ilyenkor a 'b' szám az 'a'-nak osztója, az 'a' szám pedig a 'b'-nek többszöröse.

• Példa: 35 osztható 7-tel, mert $35div7=5$, a maradék 0. Tehát a 7 osztója a 35-nek.

Gyakorlati oszthatósági szabályok

Ezeket a "gyorsteszteket" mindenképp tudnod kell, rengeteg időt spórolhatsz velük! Egy szám osztható:

• 2-vel, ha az utolsó számjegye páros (0, 2, 4, 6, 8).

• 3-mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal. (Pl. 471 → 4+7+1=12, és 12 osztható 3-mal, tehát 471 is.)

• 4-gyel, ha az utolsó két számjegyéből alkotott szám osztható 4-gyel. (Pl. 2516, mert 16 osztható 4-gyel.)

• 5-tel, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5.

• 6-tal, ha 2-vel és 3-mal is osztható. (Tehát páros és a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.)

• 9-cel, ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel. (Pl. 477 → 4+7+7=18, és 18 osztható 9-cel, tehát 477 is.)

• 10-zel, ha az utolsó számjegye 0.

Prímszámok és Összetett számok

Az 1-nél nagyobb természetes számokat két fő csoportba soroljuk az osztóik száma szerint.

Prímszámok (vagy törzsszámok)

• Definíció: Azok az 1-nél nagyobb természetes számok, amelyeknek pontosan két pozitív osztójuk van: 1 és önmaguk.

• Példák: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

• Fontos: A 2 az egyetlen páros prímszám!

Összetett számok

• Definíció: Azok az 1-nél nagyobb természetes számok, amelyek nem prímszámok. Nekik kettőnél több pozitív osztójuk van.

• Példák: 4 (osztói: 1, 2, 4), 6 (osztói: 1, 2, 3, 6), 8, 9, 10, 12, ...

Az 1-es szám esete

Az 1 egy speciális szám: se nem prím, se nem összetett, mivel neki csupán egyetlen osztója van, önmaga.

Prímtényezős felbontás

Ez az egyik legfontosabb számelméleti eszköz. A számelmélet alaptétele kimondja, hogy minden 1-nél nagyobb összetett szám egyértelműen felírható prímszámok szorzataként.

Hogyan csináljuk? (Oszlopos módszer)

A cél, hogy a számot "szétszedjük" prímek szorzatára. Vegyük példának a 360-at!

1. Írd fel a számot, és húzz mellé egy függőleges vonalat.

2. Keresd meg a legkisebb prímet, amellyel osztható. A 360 páros, így osztható 2-vel.

3. Végezd el az osztást ($360div2=180$), az eredményt írd a 360 alá.

4. Ismételd a folyamatot, amíg csak lehet.

5. Ha elérted az 1-et, kész vagy!

360 | 2
180 | 2
 90 | 2
 45 | 3
 15 | 3
  5 | 5
  1 |

A vonal jobb oldalán lévő prímek szorzata adja az eredeti számot.

A 360 prímtényezős felbontása:

360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5

Ezt a rendezettebb hatványalakban szokás megadni:

360 = 2^3 * 3^2 * 5^1