Legnagyobb Közös Osztó (LNKO)

A legnagyobb közös osztó két vagy több egész szám közös osztói közül a legnagyobb.

• Jelölés: LNKO(a, b)

Meghatározása prímtényezős felbontással

Ez a leggyakoribb és legbiztosabb módszer az érettségin.

1. Bontsd fel a számokat prímtényezős alakra!

2. Válaszd ki a közös prímtényezőket! (Azokat, amelyek mindegyik felbontásban szerepelnek.)

3. A közös prímeket a bennük szereplő legkisebb hatványon add meg!

4. Szorozd össze a kapott hatványokat! Az eredmény lesz a legnagyobb közös osztó.

Példa:

Határozzuk meg 72 és 120 legnagyobb közös osztóját! LNKO(72, 120) = ?

1. Felbontás:

   • 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3²

   • 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 2³ · 3¹ · 5¹

2. Közös prímek: A 2-es és a 3-as prím mindkét felbontásban szerepel. (Az 5-ös nem közös.)

3. Legkisebb hatványok:

   • A 2 kitevője mindkét helyen 3 (tehát a legkisebb is a 3-on van). Vesszük: 2³

   • A 3 kitevői a 2 és az 1. A kisebbik az 1. Vesszük: 3¹

4. Összeszorzás:

   LNKO(72, 120) = 2³ · 3¹ = 8 · 3 = 24

Tehát a 72 és a 120 legnagyobb közös osztója a 24.

Legkisebb Közös Többszörös (LKKT)

A legkisebb közös többszörös két vagy több egész szám pozitív közös többszörösei közül a legkisebb.

• Jelölés: LKKT(a, b)

Meghatározása prímtényezős felbontással

A módszer nagyon hasonlít az LNKO-hoz, de a kulcsfontosságú lépésekben eltér.

1. Bontsd fel a számokat prímtényezős alakra!

2. Gyűjtsd ki az összes prímtényezőt, ami legalább az egyik felbontásban szerepel!

3. A prímeket a bennük szereplő legnagyobb hatványon add meg!

4. Szorozd össze a kapott hatványokat! Az eredmény lesz a legkisebb közös többszörös.

Példa:

Határozzuk meg 72 és 120 legkisebb közös többszörösét! LKKT(72, 120) = ?

1. Felbontás: (ugyanaz, mint az előbb)

   • 72 = 2³ · 3²

   • 120 = 2³ · 3¹ · 5¹

2. Összes prím: A felbontásokban szereplő összes prímtényező a 2, a 3 és az 5.

3. Legnagyobb hatványok:

   • A 2 kitevője mindkét helyen 3 (tehát a legnagyobb is a 3-on van). Vesszük: 2³

   • A 3 kitevői a 2 és az 1. A nagyobbik a 2. Vesszük: 3²

   • Az 5 kitevője az 1 (csak az egyik számban szerepel, így ottani hatványa a legnagyobb). Vesszük: 5¹

4. Összeszorzás:

   LKKT(72, 120) = 2³ · 3² · 5¹ = 8 · 9 · 5 = 72 · 5 = 360

Tehát a 72 és a 120 legkisebb közös többszöröse a 360.