Számhalmazok

Számhalmazok

Természetes számok ($\mathbb{N}$)

A természetes számok halmaza a legegyszerűbb, legalapvetőbb számhalmaz. Ezek a "számlálószámok".

• Definíció: A természetes számok a nemnegatív egész számok.

• Jelölés: $\mathbb{N}$ (a latin naturalis, azaz 'természetes' szóból).

• Elemei: $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,...\}$

• Fontos megjegyzés: A magyar tantervi megegyezés szerint a 0 természetes számnak számít. Néhány országban csak a pozitív egész számokat értik alatta, de az érettségin mindig vedd bele a nullát!

• Pozitív természetes számok: Ha egy feladat kifejezetten pozitív természetes számokról beszél, abba a nulla már nem tartozik bele. Jele: N+.

Egész számok ($\mathbb{Z}$)

Az egész számok halmaza a természetes számok halmazának kibővítése a negatív számokkal.

• Definíció: Az egész számok a természetes számok és azok ellentettjei (negatívjai).

• Jelölés: $\mathbb{Z}$ (a német Zahlen, azaz 'számok' szóból).

• Elemei: $\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

• Részei:

  • Pozitív egész számok (Z+): $\{1,2,3,...\}$ (Ez megegyezik a pozitív természetes számok halmazával).

  • Negatív egész számok (Z−): $\{-1,-2,-3,...\}$

  • A nulla se nem pozitív, se nem negatív.

• Kapcsolat: Minden természetes szám egyben egész szám is. Ezt matematikailag így jelöljük: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$.

Racionális számok ($\mathbb{Q}$)

A racionális számok halmaza egy újabb jelentős bővítés. Ide már a törtek is beletartoznak.

• Definíció: Racionális számnak nevezünk minden olyan számot, amely felírható két egész szám hányadosaként (törtalakban), ahol a nevező nem nulla.

• Jelölés: $\mathbb{Q}$ (az olasz quoziente, azaz 'hányados' szóból).

• Formális alak: Q={qp​∣p∈Z,q∈Z,q=0}

• Milyen számok ezek?

  • Minden egész szám, mert felírható 1-es nevezőjű törtként (pl. 5=15​).

  • Minden véges tizedestört (pl. 0,25=10025​=41​).

  • Minden végtelen, szakaszos tizedestört (pl. 0,3=0,333...=31​).

• Kapcsolat: Minden egész szám egyben racionális szám is. Ezt matematikailag így jelöljük: $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$.

Valós számok ($\mathbb{R}$)

A valós számok halmaza a középiskolai matematika során használt legbővebb számhalmaz. Lefedi a számegyenes összes pontját.

• Definíció: A valós számok halmaza a racionális és az irracionális számok uniója.

• Jelölés: $\mathbb{R}$ (az angol real, azaz 'valós' szóból).

A valós számok megértéséhez be kell vezetnünk egy új fogalmat:

Irracionális számok (Q∗)

Az irracionális számok azok a számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként.

• Jelölés: Q∗ (a $\mathbb{Q}$ komplementere $\mathbb{R}$-re nézve).

• Milyen számok ezek?

  • Tizedestört alakjuk végtelen és nem szakaszos. A számjegyek ismétlődés nélkül követik egymást a végtelenségig.

  • Példák:

    • A pi ($\pi$): $\approx 3,\mathrm{14159...}$

    • Az Euler-féle szám (e): $\approx 2,\mathrm{71828...}$

    • Olyan gyökös kifejezések, amelyek értéke nem egész szám: 2​, 3​, 5​ stb.

• Kapcsolat: A valós számok halmaza tehát a racionális és az irracionális számokból áll össze. Nincs átfedés a két halmaz között.

A számhalmazok viszonya

A számhalmazok egymásba ágyazott rendszert alkotnak, amit egy egyszerű ábrával lehet a legjobban szemléltetni:

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$

Ez azt jelenti:

• Minden természetes szám egyben egész, racionális és valós szám is.

• Minden egész szám egyben racionális és valós szám is, de nem feltétlenül természetes (pl. -2).

• Minden racionális szám egyben valós szám is, de nem feltétlenül egész (pl. 21​).

• Az irracionális számok a valós számok halmazának részei, de a racionális számok halmazán kívül helyezkednek el.