A Venn-diagram felépítése

A Venn-diagram felépítése

A diagram alapvető elemei a következők:

1. Alaphalmaz (U): Ezt egy nagy téglalap jelképezi. Az alaphalmaz tartalmazza a vizsgált probléma összes lehetséges elemét (pl. egy osztály összes tanulóját, az összes megkérdezett embert stb.).

2. Halmazok: Ezeket a téglalapon belül elhelyezkedő, jellemzően egymást átfedő körök jelölik. Minden kör egy-egy tulajdonságnak megfelelő csoportot képvisel (pl. az angolul tanulók, a kutyatulajdonosok).

3. Régiók (Zónák): A körök és a téglalap által határolt területek. Minden egyes elkülöníthető rész egy specifikus tulajdonságkombinációnak felel meg.

Például egy három halmazos (A, B, C) diagram főbb részei:

• Csak A: Az A körnek az a része, amely nem metsz bele sem a B, sem a C körbe.

• A és B, de nem C: Az A és B körök közös része (metszete), amely nem lóg bele a C körbe.

• A, B és C metszete: A diagram legbelső része, ahol mindhárom kör átfedi egymást.

• A körökön kívüli terület: Azok az elemek, amelyek az alaphalmazhoz tartoznak, de egyik ábrázolt halmaznak sem részei.

A Venn-diagramos feladatmegoldás lépései

A legtöbb szöveges, halmazos feladat megoldható ezzel az egyszerű, lépésről lépésre követhető módszerrel.

1. A halmazok meghatározása: Olvasd el figyelmesen a feladat szövegét és azonosítsd a benne szereplő csoportokat. Ezek lesznek a te halmazaid. Jellemzően 2 vagy 3 halmazról van szó az érettségi feladatokban. Nevezd el őket (pl. A, B, C vagy T, F, M a tantárgyak kezdőbetűiről).

2. A diagram felrajzolása:

   • Rajzolj egy nagy téglalapot az alaphalmaz (U) jelölésére.

   • Rajzolj annyi, egymást metsző kört a téglalapon belül, ahány halmazt azonosítottál. Fontos, hogy a körök úgy metsszék egymást, hogy minden lehetséges "zóna" (csak A, csak B, A és B is, stb.) megjelenjen.

3. Adatok beírása – A "belülről kifelé" stratégia:

   • Ez a legfontosabb lépés! Mindig a legbelső, legtöbb halmaz metszetét jelentő résszel kezdd!

   • Ezután haladj kifelé a további metszetekkel. Ha például tudod, hogy A és B metszete 10, és ebből már beírtál 3-at a legbelső részbe, akkor a "csak A és B" részbe már csak $10-3=7$ kerül.

   • Töltsd ki azokat a részeket, amelyek csak egy halmazhoz tartoznak.

   • Végül számold ki, hány elem van a téglalapon, de a körökön kívül.

4. A kérdés(ek) megválaszolása: Ha a diagramot helyesen kitöltötted, már csak le kell olvasnod róla a kérdésekre a választ.

Mintafeladat: Két halmazos probléma

Feladat: Egy 30 fős osztályban mindenki tanul angolul vagy németül. Angolul 22-en, németül 15-en tanulnak. Hányan tanulják mindkét nyelvet? Hányan tanulnak csak angolul?

1. Halmazok:

   • A: angolul tanulók halmaza

   • N: németül tanulók halmaza

   • U: az osztály (30 fő)

2. Diagram felrajzolása: Rajzolunk egy téglalapot és benne két, egymást metsző kört (A és N).

3. Adatok beírása:

   • Nem ismerjük a metszetet, ez a kérdés! Jelöljük x-szel.

   • A "csak angol" részbe 22 - x kerül.

   • A "csak német" részbe 15 - x kerül.

   • A feladat szerint mindenki tanul valamilyen nyelvet, tehát a körökön kívül 0 fő van.

   Tudjuk, hogy a diagramon lévő részek összege kiadja az osztálylétszámot:

   (22−x)+x+(15−x)=30

   37−x=30

   x=7

4. Válaszok:

   • Mindkét nyelvet tanulják (x): 7 fő.

   • Csak angolul tanulnak (22 - x): $22-7=15$ fő.

   • Csak németül tanulnak (15 - x): $15-7=8$ fő.

   • Ellenőrzés: 15 (csak A) + 7 (közös) + 8 (csak N) = 30. Az összeg stimmel.