Logikai alapok

Logikai alapok

A logika alapja: A kijelentés

A logikai műveletek alapanyaga a kijelentés (vagy ítélet). Egy kijelentés egy olyan mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy az értéke igaz (i) vagy hamis (h). Ezt a tulajdonságot a kijelentés logikai értékének nevezzük.

• Példák kijelentésekre:

  • "Budapest Magyarország fővárosa." (Logikai értéke: igaz) 

  • "A 7 egy páros szám." (Logikai értéke: hamis) 

• Ami NEM kijelentés:

  • "Milyen nap van ma?" (Ez egy kérdés, nincs logikai értéke.)

  • "Hozd ide a könyvet!" (Ez egy felszólítás, nincs logikai értéke.)

  • "Ez a mondat hamis." (Ez egy logikai paradoxon, nem lehet egyértelműen igaz vagy hamis.)

A logikában a kijelentéseket gyakran nagybetűkkel jelöljük, pl. $A$, $B$.

Logikai műveletek 

A logikai műveletek segítségével egyszerű kijelentésekből összetett kijelentéseket hozhatunk létre. A műveletek eredményének logikai értékét az úgynevezett igazságtáblázat segítségével adjuk meg.

NEM (Negáció)

A negáció egy egyváltozós művelet, amely egy kijelentés logikai értékét az ellenkezőjére változtatja.

• Jelölés: $\neg A$ (Olvasd: "nem A" vagy "nem igaz, hogy A")

• Működése: Ha az $A$ kijelentés igaz, akkor a $\neg A$ hamis. Ha az $A$ hamis, akkor a $\neg A$ igaz.

• Példa:

  • Legyen $A$: "Süt a nap." (igaz)

  • Ekkor $\neg A$: "Nem süt a nap." (hamis)

• Igazságtáblázat:

ÉS (Konjunkció)

A konjunkció két kijelentést kapcsol össze. Az összetett kijelentés csak és kizárólag akkor igaz, ha mindkét eredeti kijelentés igaz. Bármely más esetben hamis.

• Jelölés: $A\wedge B$ (Olvasd: "A és B")

• Analógia: Ahhoz, hogy jó jegyet kapj, meg kell írnod a leckét ÉS fel kell készülnöd a felelésre. Ha bármelyiket elmulasztod, a cél nem teljesül.

• Példa:

  • Legyen $A$: "A 2 egy páros szám." (igaz)

  • Legyen $B$: "A 3 egy páratlan szám." (igaz)

  • Ekkor $A\wedge B$: "A 2 egy páros szám és a 3 egy páratlan szám." (igaz)

• Igazságtáblázat:

VAGY (Diszjunkció)

A diszjunkció szintén két kijelentést kapcsol össze. Az összetett kijelentés már akkor is igaz, ha legalább az egyik eredeti kijelentés igaz. Csak akkor lesz hamis, ha mindkettő hamis. Ez a matematikai "megengedő vagy".

• Jelölés: $A\vee B$ (Olvasd: "A vagy B")

• Analógia: A moziba kedvezményt kapsz, ha diák VAGY nyugdíjas vagy. Ha diák vagy, de nem nyugdíjas, kapsz kedvezményt. Ha mindkettő igaz rád, akkor is kapsz. Csak akkor nem kapsz, ha se diák, se nyugdíjas nem vagy.

• Példa:

  • Legyen $A$: "A 7 prím." (igaz)

  • Legyen $B$: "A 9 prím." (hamis)

  • Ekkor $A\vee B$: "A 7 prím vagy a 9 prím." (igaz, mert az egyik része igaz)

• Igazságtáblázat:

Egyszerű következtetések 

A következtetés során premisszákból (előzményekből, feltételekből) jutunk el egy konklúzióig (következményig). Egy következtetés akkor helyes, ha a premisszák igazsága garantálja a konklúzió igazságát.

• Jelölés: Premisszák $\Rightarrow$ Konklúzió

1. Helyes következtetés

A logikai lánc nem szakad meg.

• Premissza 1: "Minden emlős gerinces." (igaz)

• Premissza 2: "A kutya egy emlős." (igaz)

• Konklúzió: "Tehát a kutya gerinces." (igaz)

• Ez a következtetés helyes, mert ha az első két állítás igaz, a harmadiknak is igaznak kell lennie.

2. Helytelen következtetés

A konklúzió nem feltétlenül következik a premisszákból, még akkor sem, ha a konklúzió történetesen igaz.

• Premissza 1: "Ha esik az eső, akkor vizes a járda." (igaz)

• Premissza 2: "Vizes a járda." (igaz)

• Hibás konklúzió: "Tehát esik az eső."

• Miért hibás? Attól, hogy vizes a járda, nem biztos, hogy esik az eső. Lehet, hogy fellocsolták, vagy elolvadt a hó. A premisszák igazsága itt nem garantálja a konklúzió igazságát.