Halmazelméleti alapfogalmak

Halmazelméleti alapfogalmak: halmaz megadása, részhalmaz, unió, metszet, komplementer, különbség

Mi az a halmaz?

A halmaz egy 'gyűjtemény' vagy 'zsák', amibe különböző, jól megkülönböztethető dolgokat, úgynevezett elemeket teszünk.

• Két alapszabály:

  1. Minden elem csak egyszer szerepelhet benne.

  2. Az elemek sorrendje nem számít. Tehát az {a, b, c} halmaz ugyanaz, mint a {c, a, b} halmaz.

• Jelölések:

  • Halmazok: Nagybetűk (pl. $A,B$)

  • Elemek: Kisbetűk (pl. $a,b$)

  • "Eleme": A $b\in A$ azt jelenti, hogy a '$b$' elem benne van az '$A$' halmazban.

  • "Nem eleme": A $c\notin A$ azt jelenti, hogy a '$c$' elem nincs benne az '$A$' halmazban.

Hogyan adhatunk meg egy halmazt?

1. Az elemek felsorolásával: Ez a legegyszerűbb. Kapcsos zárójelek {} közé írjuk az elemeket.

   • Példa: A páratlan egyjegyű pozitív számok halmaza: $P=\{1,3,5,7,9\}$.

   • Üres halmaz: Amelyik halmaznak nincs eleme. Szuperfontos, ne felejtsd el! Jele: $\varnothing$ vagy {}.

2. Szabállyal (utasítással): Megadunk egy közös tulajdonságot, aminek minden elem megfelel.

   • Példa: Az öttel osztható pozitív egész számok halmaza: O={x∈Z+∣x oszthatoˊ 5-tel}.

   • Így olvasd: Az '$O$' halmaz azokból az '$x$' elemekből áll, amelyek pozitív egész számok, és teljesül rájuk az a tulajdonság, hogy oszthatók öttel.

Részhalmaz és valódi részhalmaz

Egy $A$ halmaz részhalmaza egy $B$ halmaznak, ha az $A$ minden egyes eleme a $B$-nek is eleme. Képzeld el úgy, mint egy kisebb dobozt egy nagyobban.

• Jelölés: $A\subseteq B$

Gondolj a csapatra és a játékosra!

• Messi eleme ($\in$) az argentin válogatottnak.

• De az argentin csatársor (ami maga is egy halmaz) részhalmaza ($\subseteq$) az egész csapatnak.

Fontos apróságok:

• Az üres halmaz minden halmaznak a részhalmaza: $\varnothing \subseteq A$.

• Minden halmaz részhalmaza önmagának: $A\subseteq A$.

Mi a valódi részhalmaz?

Akkor beszélünk valódi részhalmazról, ha $A$ részhalmaza $B$-nek, de nem egyenlő vele. Vagyis van legalább egy olyan eleme $B$-nek, ami nincs benne $A$-ban.

• Jelölés: $A\subset B$

• Példa: Ha $A=\{1,2\}$ és $B=\{1,2,3\}$, akkor $A$ valódi részhalmaza $B$-nek ($A\subset B$), mert minden eleme benne van $B$-ben, de a két halmaz nem ugyanaz. A 3-as elem csak a $B$ halmazban található meg.

Halmazműveletek

Ezekkel tudsz új halmazokat létrehozni meglévőkből. A Venn-diagram szuper segítség a megértésükhöz!

Unió (Egyesítés)

Két halmaz uniója egy új halmaz, amiben minden elem benne van, ami az egyikben VAGY a másikban (vagy mindkettőben) szerepelt. Lényegében "összeöntjük" a két halmazt, de a közös elemeket csak egyszer írjuk le.

• Jelölés: $A\cup B$

• Példa: Ha $A=\{\text{alma},\text{ko¨rte}\}$ és $B=\{\text{ko¨rte},\text{banaˊn}\}$, akkor $A\cup B=\{\text{alma},\text{ko¨rte},\text{banaˊn}\}$.

Metszet (Közös rész)

Két halmaz metszete az a halmaz, amiben csak azok az elemek vannak, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Ez a halmazok "közös része".

• Jelölés: $A\cap B$

• Példa: Ha $A=\{\text{alma},\text{ko¨rte}\}$ és $B=\{\text{ko¨rte},\text{banaˊn}\}$, akkor $A\cap B=\{\text{ko¨rte}\}$.

• Diszjunkt halmazok: Ha a metszet üres ($A\cap B=\varnothing$), vagyis nincs közös elemük, a két halmaz diszjunkt.

Különbség

Az $A$ és $B$ halmaz különbsége ($A$ mínusz $B$) azokat az elemeket tartalmazza, amelyek benne vannak $A$-ban, de nincsenek benne $B$-ben.

• Jelölés: $A\setminus B$

• Példa: Ha $A=\{1,2,3,4\}$ és $B=\{3,4,5,6\}$, akkor:

  • $A\setminus B=\{1,2\}$ (ami csak A-ban van meg)

  • B∖A={5,6} (ami csak B-ban van meg)

    Láthatod, hogy a sorrend itt nagyon nem mindegy!

Komplementer

A komplementerhez mindig kell egy alaphalmaz (jele: $U$), ami a "világegyetem", amiben éppen dolgozunk. Egy $A$ halmaz komplementere az alaphalmaz összes olyan elemét jelenti, ami nincs benne $A$-ban.

• Jelölés: Aˉ (néha A′-ként is jelölik)

• Lényegében: Aˉ=U∖A

• Példa: Az alaphalmaz legyen a 10-nél kisebb pozitív egész számok halmaza: $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Legyen $A=\{1,3,5,7,9\}$ (a páratlanok).

  • Ekkor a komplementere, Aˉ, az összes többi elem az alaphalmazból: Aˉ={2,4,6,8}.